Corrigé de l'exercice 6 Groupement 6

1) a) Déterminer les restes des divisions euclidiennes par 7 de 1, de 10 puis de 100.
Ecrire les trois égalités caractéristiques correspondantes.

Les restes des divisons euclidiennes par 7, de 1, de 10 puis de 100 sont respectivement 1,3 et 2.

1 = 0 X 7 + 1
10 = 1 X 7 + 3
100 = 14 X 7 + 2


b) En utilisant l’égalité 10^3 = 10 X 10^2, montrer que le reste de la division euclidienne de 10^3 par 7 se déduit, sans poser de divisions, des résultats précédents.

10^ 3 = 10 X 10^2
= (1 X 7 + 3) X (14 X 7 + 2)
= 7 X 14 X 7 + 2 X 7 + 3 X 14 X 7 + 3 X 2
= 7(14 X 7 + 2 + 3 X 14) + 6 écriture de la division euclidienne de 10^3 par 7

donc 7 est le diviseur
(14 + 2 + 3 X 14) est le quotient
et 6 est le reste


c) Soit Rn le reste de la division euclidienne de 10^n par 7 et Rn+1 le reste de la division euclidienne de 10^n+1 par 7. Donner une méthode permettant d’obtenir Rn+1 à partir de Rn.

10^n = b X 7 + Rn avec Rn<7

10^n+1 = 10 X 10^n
= (7 + 3) X (7b + Rn)
= (7 X 7b + 7Rn) + (3 X 7b + 3Rn)
= 7 X 7b + 7Rn + 3 X 7b + 3Rn
= 7 (7b + Rn + 3b) + 3Rn
= 7 (10b +Rn) + 3Rrn

C’est l’écriture euclidienne de 10^n+1 par 7 admettant 3Rn pour reste.
Or Rn+1 est le reste de la division euclidienne de 10^n+1 par 7
On en déduit que Rn+1 = 3Rn
Donc pour déterminer Rn+1 à partir de Rn il suffit de calculer le reste de la
division euclidienne de 3Rn par 7.



d) Reproduire et compléter alors le tableau ci-dessous.

(j'ai le tableau sous excel si vous le souhaitez)

10^n _ Reste de la division euclidienne de 10^n par 7

1 reste---> 1
10 reste ---> 3 3 x1 = 0x7+3
10^2 reste---> 2 3x3=1x7+2
10^3 reste ---> 6 3x2 = 0x7+6
10^4 reste ---> 4 3x6= 2x7 +4
10^5 reste ---> 5 3x4= 1x7+ 5
10^6 reste---> 1 3x5= 2x7 +1
10^7 reste---> 3 3x1= 0x7 + 3
10^8 reste---> 2 3x3= 1x7 + 2
10^9 reste ---> 6 3x2= 0x7 +6

Exemples de calcul :

* 10^2 : 3 (reste de 10) X 3 (le coef)
= 9

Mais 9>7, donc impossible.
Il faut donc faire :
9 = 1 X 7 + 2
---> 2 est donc le reste

* 10^4 : 6 (reste de 10^3) X 3 (le coef)
= 18

Donc 18 = 7 X 2 + 4
---> 4 est donc le reste


2) Déterminer à l’aide du tableau de la question 1)d) si le nombre 600 000 006 est divisible par 7. Indiquer les étapes de votre raisonnement.

600 000 006 = 600 000 000 + 6
= 6 X 10^9 + 6
= 6 X (7q + 6) + 6 X 1
= 6 [(7q + 6) + 1]
= 6 (7q + 6 + 1)
= 6 (7q + 7)
= 7 X 6 (q + 1)

Donc 600 000 006 est bien divisible par 7.

Bonjour !

MERCI Virginie !

merci

Bonjour,

mon message a disapru deux fois au moment de valider donc je vais faire cours
je n'ai pas compris un truc :

10^ 3 = 10 X 10^2
= (1 X 7 + 3) X (14 X 7 + 2)
= 7 X 14 X 7 + 2 + 3 X 14 X 7 + 6
= 7(14 + 2 + 3 X 14) + 6

comment passe ton de la ligne 2 a la ligne 3 et de la 3 à la 4 ?
je ne comprend d'autant moins que si je fais le calcul de ces deux lignes en tenant compte de la priorité de l'a multiplication sur l'addiction je ne trouve plus 10 X 10^2

quelqu'un pourrait m'éclaircir ?

merci d'avance

Bonjour Anthem,
Vous avez raison, il y a eu une erreur de frappe.
Retournez voir, l'erreur a été corrigée.
Et merci à Virginie.

merci j'y retourne !

MERCI

Merci Virginie !

grand merci !!!

Merci ben pour cette correction rédigée ! Bravo pour ce travail !

Hello, encore moi pour un rajout cette fois :

Virginie1403 a écrit:
b) En utilisant l’égalité 10^3 = 10 X 10^2, montrer que le reste de la division euclidienne de 10^3 par 7 se déduit, sans poser de divisions, des résultats précédents.

10^ 3 = 10 X 10^2
= (1 X 7 + 3) X (14 X 7 + 2)
= 7 X 14 X 7 + 2 X 7 + 3 X 14 X 7 + 3 X 2
= 7(14 X 7 + 2 + 3 X 14) + 6 écriture de la division euclidienne de 10^3 par 7

donc 7 est le diviseur
(14 + 2 + 3 X 14) est le quotient
et 6 est le reste

Vu la question posée, afin d'avoir un résultat plus lisible, je ferai un développement de cette façon :

10^3 = 10 x 10^2
= (1 X 7 + 3) X (14 X 7 + 2) (en bleu ce qui ne change pas)
= 10 (7 x 14 + 2)
= 7 x 140 + 20
= 7 x 140 + 7 x 2 + 6
= 7 (140 + 2) + 6
= 7 x 142 + 6