Aide et questions exos pour la séance du 23/09

Bonjour,

Je souhaiterais savoir si quelqu'un a commencé les exercices à faire. Les trois premiers, il n'y a pas de problème mais pour les deux derniers, je n'y arrive pas.
Je n'arrive pas à comprendre ce qu'il faut faire pour l'avant dernier (mise à part la 1 a).
POur la b, je fais: si 10^3 = 10x10^2 donc 10^3/7 = 10x10^2/7 soit (7X1+3)x(7x14+2)/7 mais après je ne vois pas où il faut aller. Du coup, je ne comprends pas le reste.

Merci

Bon voici ce que j'ai fait:

Exo 1
1a) (x+1)(x-1)-(x+2)(x-2)
= (x²-1)-(x²-4)
=-1+4
=3

b)297x295 - 298x294
(296+1)(296-1)-(296+2)(296-2)
(296²-1)-(296²-4)
=-1+4
=3

2) Je dis la première car
si a= 2 et b=3 alors 2+3 = 5
ce qui donne a²= 2² = 4 et b²=3²=9
Ce qui permet de dire que la différence de leur carré est 9-4=5
Donc la différence de leur carré est bien égale à leur somme.

Exo2
1) On sait que 7 et 13 sont premiers car ils ne sont divisibles que par eux-mêmes ou 1.
Pour trouver entre 61 et 57, je fais:
racine carré de 61 = 7,8... alors j'essaye de le diviser avec tous les nombres < 7. Aucun ne convient donc 61 est un nombre premier.
Par conséquent 57 l'est (et je vérifie par la même méthode).

2) racine carrée de 3737 = 61,13... Aucun premier ne le divise. par conséquent il est un nombre premier.

b) Non; ex:
5757, peut être divisé par 3 (voir méthode)
2424 (divisible par 2 et 4).
9191 est un nombre premier

3)
a) somme de abc + abb + acc est divisible par trois car ce nombre est composé de 3xa, de 3xb et de 3xc, or 3xa est forcément divisible par 3, tout comme 3xb et 3xc

b) on a cba et bba et pour que la somme des ces trois chiffres soit divisble par 3 il faut qu'il y est 3a, 3b et 3c.
Ici on a 3b, 2a et c.
De ce fait, le troisième nombre doit avoir a et 2c
donc, cela peut-être acc ou cac ou cca.

Le reste, j'essayerai de le mettre ce soir ou demain.
Je dois y aller.

J'attends vos comparaisons

Exo2
1) On sait que 7 et 13 sont premiers car ils ne sont divisibles que par eux-mêmes ou 1.
Pour trouver entre 61 et 57, je fais:
racine carré de 61 = 7,8... alors j'essaye de le diviser avec tous les nombres < 7. Aucun ne convient donc 61 est un nombre premier.
Par conséquent 57 l'est (et je vérifie par la même méthode).

57 EST DIVISIBLE PAR 3 CAR 5+7=12 ET 1+2 = 3 donc divisible par 3

exo 3
a) abc + abb + acc = 100a = 10b + c + 100a+ 10b + b + 100a + 10c + c
= 300 a + 21b + 12 c
= 3 (100a + 7b + 4c)
donc divisible par 3

ah oui, veuillez-m'excuser, je voulais dire que 57 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 3 (que je trouve avec ma méthode!!)

exo 3)b) on a :
cba + bba = 100c+10b+a+100b+10b+a
=120b+100c+2a

3(120b+100c+2a)
= 360b+300c+6a

360b+300c+6a - 120b+100c+2a = 240b+200c+4a
donc bca nombre à 3 chiffres

Cool les exos à faire sont les exos de mon groupement !! C'est ceux que j'ai eu au concours cette année !! Je vais doonc savoir si j'ai eu bon à cette partie du sujet !!
Pour ma part exos fait j'attends mercredi la correction !!
Bon courage à tousssss

2) racine carrée de 3737 = 61,13... Aucun premier ne le divise. par conséquent il est un nombre premier.

Je ne sais pas si ton raisonnement est bon; car par exemple si tu fais racine carrée de 6 tu trouves 2,449... et pourtant 6 n'est pas pas nombre premier!

j'ai peut etre mal compris ce que tu disais Melania?

Ah je crois que je viens de comprendre... tu veux dire que 61 n'est divisible par aucun nombre premier je pense!

quelqu'un aurait-il une idée pour la résolution des exercices 6 question c) et exercice 4 question 3) je reste bloquée..... merci

Bon pour le dernier exo (exercie 4) :

j'ai mis en 1) 308 sachets au max
2) 45 lirettes et 1 contette dans chaque sachet

Par contre je "sèche" pour la 3)

pour l'exo 4 :
moi j'ai trouvé 1
1)77 paquets
2)avec 18 lirettes et 4 contettes

Oui mais la question c'est combien peut -on faire AU PLUS de sachets !!

Donc c'est je pense 308 car nombre max de contettes.

Non??

rassures toi joradar même mes copines qui étaient bonnes en maths ont séchés sur ce problème !! Je sais qu'il y en a un qui a répondu le nombre de lirettes + 1 mais ça ne satisfaisait personne !!!

oh pardon je crois que j'ai répondu un peu vite !! ma réponse était pour la dernière question !!!

1386/308 =4 ,5 donc pas possible

Pour l'exercice 4....impossible d'avoir 308 sachets avec 45 lirettes car çà fait 13 860 lirettes!!!
1 386 lirettes divisé par 308, çà fait 4,5. Pour avoir un nombre entier, il faut donc 9 lirettes pour 2 contettes, soit 154 sachets.

Aie mince oui dsl j'avais oublié la virgule

il faut faire le pgcd de 308 et 1386

Bonsoir,
Voici mes résultats pour les exo 4 et 5.
EXO 4 :
1) On peut réaliser 154 sachets au plus.
2) Il y aura 9 lirettes et 2 contenettes dans chaque sachet.
3) Il devra prendre au minimum 3 confiseries (pas certaine)
EXO 5 :
1)a) 1,3 et 2
1)b) Le reste de de la division euclidienne de 10^3 par 7 est 6
1)c) Rn+1 est le triple de Rn, le reste de la division euclidienne de Rn par 7 est Rn+1 et 0<=Rn+1<=6
1)d) 1,3,2,6,4,5,1,3,2,6;....
2) 6 000 000 006 est divisible par 7 (reste = 0)

Est-ce que quelqu'un peut confronter ses résultats avec les miens et me dire ce qu'il en pense ?
Je ne mets pas en ligne mes démonstrations, mais je peux les fournir par MP.

voici ce que j'ai fait vos remarques sont les bienvenues
exo 1
1) a)(x+1)(x-1)-(x+2)(x-2)=(x²-x+x-1)-(x²-2x+2x-4)=3
b)(297*295)-(298*294)=3

2) reponse a la somme est n+(n+1) , la différence des carrés est (n-1)²-n² en developpant on obtient 2n+1 donc on a demontré que si a et b sont 2 nb consecutifs alors leur somme est egale à la différence de leur carré

exo2
1) un naturel est dit premier s'il a exactement 2 diviseurs distinct 1 et lui-meme dans ce cas on retrouve 7,13 et 61 57 n'est pas un nbre premier car il est divible par 3 (3*19=57)

2) a)3737 n'est pas un nbre premier car 37 *101=3737 il a d'autres diviseurs que 1 et 37
b)si je decompose abab= 1000a+100b+10a+b=100(10a+b)+10a+b
=101(10a+b) donc abab est divisible par 101 et par (10a+b) soit ab

3) a)abc+abb+acc=(100a+10b+c)+(100a+10b+b)+(100a+10b+b)
= 300a+30b+3c=3(100a+10b+c)
=> le somme de ces 3 nbres est divisible par 3

b) cba+bba+xyz =
(100c+10b+a)+(100b+10b+a)+(100x+10y+z)
3(100c+120b+2a+100x+10y+z)
Il faut pour que c soit divisible par 3 (100+110) soit 210 pour avoir 210c il faut ajouter110c +100c+10c=> x et y=c
120b est divible par 3 donc je garde 120b
Il faut que a soit divible par 3 (2+1) soit 3 pour avoir 3a il faut ajouter 1 a => donc z=a
Conclusion si je prend cca a la place de xyz j’obtient ceci
210c+120b+3a => 3(70c+40b+a) donc la somme de cba+bba+cca est divisible par 3

Exo3
1) a)le dernier terme est le reste de la division euclidienne de 63 par 4 soit 1 donc la liste commence à 1
b) 9843 divisé par 4=2460 reste 3 donc la liste finie à 3
c)le nb de terme c’est le nbre de fois qu’il faut enlever 4 pour obtenir un nbre inférieur à 4 c'est-à-dire le quotient de la division euclidienne de 9843 par 4. La liste commence à 9843 il faut ajouter 1 au quotient qui est 2460 car 9843=(2460*4)+3 donc le nbre de terme est 2461
d) le 100eme terme est 100-1 on enleve 99 fois 4 à 9483
9483-4*(100-1)=9447

2) j’ai eu un peu plus de mal
16135407=(4548*3547)+3651
a)comme 3651<3547 alors 3641 est le reste de la division euclidienne de 16135407 par 4548 et 3547 le quotient
b)comme 3651>3547 alors il faut soustraire 3547 à 3651 ce qui fait 104 qui est le reste de la division 16135407 par 3547

3) 8640219 divisé par 1996
8 640 219=8*1 000 000+6*100 000+4*10 000+219
= [8((1996*501)+4)]+[6((1996*50)+200)]+[4((1996*5)+20)]+219
= [8*1996*8*501+32]+[6*1996*6*50+1200]+[4*1996*4*5+80]+219
=1996(4008+300+20)+1531
=1996*4328+1531
Comme 1531<1996 alors c’est le reste de la division euclidienne de 8640219 par 1996 et 4328 le quotient

Exo4
1) a) 1=7*0+1 => le reste de la division euclidienne de 1 par 7 est 1
10=7*1+3 => le reste de la division euclidienne de 10 par 7 est 3
100=7*14+2 => le reste de la division euclidienne de 100 par 7 est 2

b)10 3=10*10²
je sais que 10²=7*14+2
donc 10 3=10 *7*14+2*10=7*140+2*7+6=7(140+2)+6
comme 6<7 donc le reste de la division euclidienne de 10 3 par 7 est 6 et le quotient 142

c)rn reste de la division euclidienne de 10n par 7 et qn le quotient
on a 10n=7*qn+rn avec rn <7 on sait que 10n+1 = 10n*10
donc je remplace 10n+1=7*10*qn+10*rn
= 10qn*7+(3+7)rn
= 10qn*7+3rn+7rn
= 7(10qn+rn)+3rn si 3rn est <7 alors rn+1 est egale au reste de la division euclidienne de 3rn par 7

10^n 1 10 10² 103 104 105 106 107 108 109
reste de la division
de 10^n par 7 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6
Pour 1 : 1/7 = 0 reste 1
10 : 1*3/7=0 reste 3
10² : 3*3/7=1 reste 2
10 3 :2* 3/7=0 reste 6
104 : 6*3/7=2 reste 4 ……

2) 6 000 000 006 divisible par 7
6 000 000 006=6*1 000 000 000 +6=6(109+1)=6(7q+6+1)=6(7q+7) après je seche

Exo 5

1) Je recherche le PGDC à 1386 et 308
1386 2 308 2
393 3 154 2
231 3 77 7
77 7 11 11
11 11 1
1

1386=2*3²*7*11
308 = 2²*7*11

Donc le PGCD(1386,308)=2*7*11= 154
Le nb de sachet est 154

2) 1386 = 9 308 = 2 chaque sachet compte respectivement 9 lirettes et 2 contettes
154 154

3) Si Jacques pioche 1387 fois il est sur d’avoir au moins une contette

krystel35 a écrit:Bonsoir,
Voici mes résultats pour les exo 4 et 5.
EXO 4 :
1) On peut réaliser 154 sachets au plus.
2) Il y aura 9 lirettes et 2 contenettes dans chaque sachet.
3) Il devra prendre au minimum 3 confiseries (pas certaine)
EXO 5 :
1)a) 1,3 et 2
1)b) Le reste de de la division euclidienne de 10^3 par 7 est 6
1)c) Rn+1 est le triple de Rn, le reste de la division euclidienne de Rn par 7 est Rn+1 et 0<=Rn+1<=6
1)d) 1,3,2,6,4,5,1,3,2,6;....
2) 6 000 000 006 est divisible par 7 (reste = 0)

Est-ce que quelqu'un peut confronter ses résultats avec les miens et me dire ce qu'il en pense ?
Je ne mets pas en ligne mes démonstrations, mais je peux les fournir par MP.

je veux bien tes demonstrations

exo grpe 1
1) a) et b) réponse : 3 comme Mélania
2)Propriété n°1, Démonstration :
quelquesoit n nombre entier : (n+1)² - n² = (n+1-n) (n+1+n) = 2n+1 = n + (n+1) donc propriété 1
Exo grpe 2
1)On sait que 7 et 13 sont premiers car ils ne sont divisibles que par eux-mêmes ou 1. 57 est divisible par 3 (5+7=12) => on a notre réponse et je perds pas de temps avec 61 car concours.
2)a) 3737=37*101 37 et 101 sontr des diviseurs de 3737 donc 37327 n'est pas premier
b) (abab) = 1000a +100b +10a +b = 1010a + 101b = 101 * (10a+b) = 101 * (ab )
101 est toujours diviseur des nombre (abab ) donc ces nombres ne sont jamais 1er
(Mélania 9191 = 101*91)
3) a) comme bea54
b) on compare la forme de ces 2 nouveaux nombres par rapport à ceux du a) , on en déduie qu'on peut essayer le 3ième nombre suivant : cca (Mais est-ce que ça suffit comme explication prof ?) et on calcul la somme cba + bba +cca et on trouve en procédant comme GINI30 3(40b+70c+a) donc divisible par 3

EXO 3 Grpe 3 :
a) 61=15*4 + 1 donc 61 -15*4 = 1 Réponse 1
b) 9843=(2460*4)+3 donc 9843-2460*4=3
c) comme Gini30 [/b], 2461 termes puis d) 9447

2) et 3) idem Gini30

Exo 4 Grpe6
1) a) et b) idem Gini30
c) idem Gini30 mais en plus il faut envisager les autres cas
Cas 2 : 7<3rn <14 donc 3rn -7 <7, 10ⁿ⁺¹=7(10qn + rn + 1)+ 3rn -7 reste : 3rn -7
Cas 3 : 14<3rn<21, 3rn-(2*7)<7, 10ⁿ⁺¹=7(10qn+rn+2)+3rn-14 reste : 3rn -14
d) idem
2) 6 000 000 006 = 6.10⁹+6 (d'après tableau 10⁹=7p+6 avec p nombre entier)
= 6(7p+6) + 6
= 6p*7 + 36 + 6
=6p*7 +42
=6p*7 + (7*6)=(6p+6)*7 donc 6 000 000 006 est divisible par 7