Corrigé de l'exercice 1 (groupement 1 CRPE 2009)

Corrigé donné pendant le cours en ligne du mercredi 23/09

1)a. Développer et réduire l'expression suivante où x est un nombre réel :
(x+1)(x-1) – (x+2)(x-2)

Corrigé : (x+1)(x-1) correspond à l'identité remarquable (a-b)(a+b)

(x+1)(x-1) – (x+2)(x-2) = x²-1-(x²-4) = -1+4 (car les x² s'annulent) = 3

b. Utiliser le résultat précédent pour trouver rapidement sans utiliser de calculatrice :
297x295 – 298x294
Corrigé : ici x=296
On retrouve donc l forme ci-dessus (exo 1a) donc le résultat est 3

2)Observer les résultats ci-dessous :
1²-0²=1
2²-1²=3
3²-2²=5
4²-3²=7

Les égalités ci-dessus permettent de conjecturer une propriété. Deux sont proposées ici :
1 – Si a et b sont deux nombres consécutifs, alors leur somme est égale à la différence de leurs carrés
2 – Si a et b sont deux nombres consécutifs, alors leur somme est égale au carré de leur différence
Une seule de ces propriétés est exacte. Laquelle ? La démontrer.

Corrigé : Réponse 1. 4²-3² s'appelle la différence de 2 carrés et 4+3 leur somme.
La bonne réponse est:
Si a et b sont deux nombres consécutifs, alors leur somme est égale à la différence de leurs carrés.
Démonstration :
Soit a et b deux nombres consécutifs.
On a alors b= a+1
b²-a²=(a+1)²-a²
b²-a² = a²+2a+1-a² (selon l'identité remarquable (a+b)²=a²+2ab+b²)
Alors b²-a² = a²+2a+1-a²
b²-a²= 2a+1
b²-a²= (a+1) +a
d'où b²-a²=b+a car a+1=b
Comme b+a=b²-a² alors la somme de deux nombres consécutifs est bien égale à la différence de leurs carrés.

Merci beauoucp Lena. Très sympa !

merci bcp lena c'est gentil de ta part

Merci