problème de résolution : De la géométrie et des asymptotes

Bonjour
j'aurai besoin d'un peu d'aide pour cet exercice:
(O,i,j)est un repere orthonormal. On considere les point A(1;2) I(1;0) H(0;2) et pour tout réel x strictement supérieur a 1, le point P(x;0).La droite (AP)coupe l'axe des ordonnées en Q.
1. Exprimer IP,OQ,HQ puis l'aire des triangles OPQ, HAQ et IPA en fonction de x

2. f est la fonction defini sur ]1; +~[ par f(x)=x²/(x-1); C est sa courbe representative dans (O,i,j)
a).en découpant convenablement le triangle OPQ determiner trois reel a, b et c tels que pour tout reel x > 1 : f(x)=ax b c/(x-1)
b).étudier la limite de f en 1 et en +~. en déduire que C admet deux asymptote d1 et d2.
c).étudier les variations de f sur ]1; +~[ et dresser son tableau de variation.

3. pour quelle valeur de x, l'aire du triangle OPQ est-elle maximale(impossible) ( correction: est-elle minimale ) ? Que vaut alors cette aire?
merci d'avance pour votre aide!

J'y réponds mais cet exercice n'est pas au programme du CRPE.
Déterminer l'ordonnée du point Q.
Le point Q appartient à la droite (AP) d'équation y = a x + b
b , l'ordonnée à l'origine est aussi l'ordonnée du point Q .
Comme le point P(x,0) appartient à la droite (AP) alors ses coordonnées vérifient l'équation de cette droite.
On a alors ax + b = 0
De même pour le point A ( 1 , 2 ) on a : a + b = 2
En résolvant le système ax + b = 0 et a + b = 2 avec a et b comme inconnues on obtient en effectuant
une soustraction membre à membre:
ax - a = -2
a ( x - 1 ) = -2
soit a = -2/(x-1)

on en déduit b = 2 - a
Soit b = 2 + 2/(x-1)
b = [2(x-1)+2]/(x-1)
b = 2x/(x-1)
Donc lees coordonnées du point Q sont ( 0 , 2x/(x-1))
A(1;2) ,I(1;0) ,H(0;2) , P(x;0) et Q(0;2x/(x-1)
1.
IP = x-1
OQ = 2x/(x-1)
HQ = 2x/(x-1) - 2 = (2x - 2(x-1))/(x-1) = (2x -2x + 2 )/(x-1)
HQ = 2/(x-1)

Aire du triangle OPQ = OP*OQ/2
Aire(OPQ) = [(x*2x(x-1)]/2
Aire (OPQ) = x^2/(x-1)

Aire du triangle HAQ = HA*HQ/2 avec HA = 1
Aire(HAQ) = [1*2/(x-1)]/2
Aire (HAQ) = 1/(x-1)

Aire du triangle IPA = IA*IP/2 avec IA = 2
Aire(IPA) = 2*(x-1)/2
Aire(IPA) = x-1

f(x) = x^2/(x-1) = ax + b + c /(x-1)
2. f(x) n'est autre que l'aire du triangle OPQ en fonction de x
Aire(OPQ) = Aire(HAQ) + Aire Trapèze (OPHA)
Aire(OPQ) =1/(x-1) + (HA+OP)*OH/2
Aire(OPQ) =1/(x-1) + (1+x)*2/2
Aire(OPQ) =1/(x-1) + x+1
x^2/(x-1) = x + 1 + 1/(x-1)
soit f(x) = x + 1 + 1/(x-1)
d'où a =1 , b = 1 et c = 1

b) Comme la limite f en 1 est égale à + infini alors la droite d1 d'équation x = 1 est asymptote à la courbe C.
La limite f en +infini est égale à + infini
De plus, comme la limite de ( f(x) - (x-1) ) en + infini est égale à 0 alors la courbe C admet la droite d2 d'équation: y = x+1 comme asymptote en + l'infini.

c)
f ' (x) = 1 - 1/(x-1)^2
f ' (x)=[(x-1)^2-1]/(x-1)^2
f ' (x) = x(x-2)/(x-1)^2
Comme x>1 alors f ' (x) est du signe de x-2
f ' (x) > 0 ssi x > 2
f ' (x) < 0 ssi 1<x < 2
Donc f est strictement décroissante sur l'intervalle ] 1 ; 2] et f est
strictement croissante sur l'intervalle [ 2 ; + infini[
La fonction f admet donc un minimum en x = 2.
Donc l'aire du triangle OPQ est minimale (et non pas maximale comme vous l'écrivez)
pour x= 2
Aire(OPQ)= 2^2/(2-1) soit 4 unités d'aire.