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Equation du second degré (hors programme au CRPE)

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Equation du second degré (hors programme au CRPE)

Message par e-crpe.com le Sam 1 Aoû - 0:21

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Re: Equation du second degré (hors programme au CRPE)

Message par trousse68 le Ven 19 Fév - 14:49

J'ai besoin d'aide...

Cela fait trois jours que je bloque sur la factorisation d'équations du second degrés de type E(x) = ax²+bx+c =0

Comment faire sans utiliser la formule du discriminant......je n'arrive pas à factoriser l'expression!

Quelqu'un peut-il m'aider?

Merci d'avance.

trousse68

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Re: Equation du second degré (hors programme au CRPE)

Message par minidiane le Sam 20 Fév - 10:19

Il faut trouver une solution évidente du genre 0,1,2,3 ou -1,-2,-3 sino je ne vois que le discriminant.
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Passage par la forme canonique

Message par e-crpe.com le Sam 20 Fév - 16:00

Il faut bien avoir compris ce qui suit, avant de passer aux exemples.
comme (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 alors a^2+2ab=(a+b)^2-b^2
comme (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 alors a^2-2ab=(a-b)^2-b^2
x^2-8x=(x-4)^2-16
x^2+3x=(x+3/2)^2-(3/2)^2


Exemple1
x^2-2x-15 = (x-1)^2-1-15 considérer x^2-2x comme le début du développement d'une identité remarquable.
x^2-2x-15 = (x-1)^2-16 différence de 2 carrés: a^2-b^2=(a-b)(a+b)
x^2-2x-15 = (x-1-4)(x-1+4)
x^2-2x-15 = (x-5)(x+3)
Exemple 2
3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3) mettre 3 en facteur
3x^2-12x+9=3[(x-2)^2-4+3)^]
3x^2-12x+9=3[(x-2)^2-1]
3x^2-12x+9=3[(x-2-1)(x-2+1)]
3x^2-12x+9=3(x-3)(x-1)

Exemple 3
6x^2+4x-2= 6(x^2+4/6x-2/6)
6x^2+4x-2= 6(x^2+2/3x-1/3)
6x^2+4x-2= 6[(x+1/3)^2-1/9-1/3)]
6x^2+4x-2= 6[(x+1/3)^2-4/9)]
6x^2+4x-2= 6(x+1/3-2/3)(x+1/3+2/3)
6x^2+4x-2= 6(x-1/3)(x+1)

Cas général:
ax^2+bx+c= a[x^2+(b/a)x+(c/a)] on met a en facteur
x^2+(b/a)x = (x+(b/2a)^2-(b/2a)^2
x^2+(b/a)x = (x+(b/2a)^2-(b^2/4a^2)
on a alors:
ax^2+bx+c=a[ (x+(b/2a)^2-(b^2/4a^2)+(c/a)]
ax^2+bx+c=a[ (x+(b/2a))^2-(b^2/4a^2)+(4ac/a^2)]
ax^2+bx+c=a[ (x+(b/2a))^2-((b^2/4a^2)-(4ac/4a^2))]
ax^2+bx+c=a[ (x+(b/2a))^2-((b^2-4ac)/4a^2))]
Posons Delta= b^2-4ac
ax^2+bx+c=a[ (x+(b/2a))^2-(delta/4a^2))]
si delta est nul ax^2+bx+c=a[ (x+(b/2a))^2]
si delta est positif alors (x+(b/2a))^2-(delta/4a^2)) est une différence de carrés a^2-b^2
ax^2+bx+c=a[ (x+(b/2a+racine(delta)/2a))][ (x+(b/2a-racine(delta)/2a))]
ax^2+bx+c=a[ (x+(b+racine(delta))/2a][ (x+(b-racine(delta))/2a]

Si delta est négatif pas de factorisation possible: pour cette raison, il n'a y a pas de solutions.
Est-ce plus clair???

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S. Chermak

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Re: Equation du second degré (hors programme au CRPE)

Message par trousse68 le Dim 21 Fév - 12:59

Merci Monsieur Chermak pour votre réponse. Je vais étudier cela sérieusement et j'espère comprendre. Je vais prendre le temps de faire cela au courant de la journé et je vous dirai si enfin c'est plus clair.

Mais d'avance, un grand merci d'avoir pris de votre temps pour me répondre.

trousse68

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Re: Equation du second degré (hors programme au CRPE)

Message par trousse68 le Dim 21 Fév - 19:24

Me revoilà.....

J'ai étudié tout cela cette après-midi et cela me paraissait effectivement plus clair. J'ai fait les 3 exemples donnés et j'y suis arrivé. Alors enfin une lueur d'espoir.......
MAIS....
je me suis ensuite penchée sur les exemples donnés dans un de mes livres.
J'ai essayé de les faire...Mais je n'y arrive pas!
PFff
Voilà le 1er exemple: 3x²-5x+2
Je trouve bien la première partie de réponse, à savoir: 3(x-2/3) mais pas la suite.

2è exemple: 9x²+6x+1

3è exemple: 9x²+6x+2

Pourquoi?

trousse68

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Second degré

Message par e-crpe.com le Dim 21 Fév - 21:22

Prenons 3X^2-5X+2 mettre 3 en facteur 3(X^2-5/3X+2/3)
considérez X^2-5/3X comme le début du développement de l'identité remarquable ( X-5/6)^2
En effet si on développe (X-5/6)^2 on obtient X^2-2x5/6X+25/36= X^2-5/3X+25/36
on a donc X^2-5/3X=(X-5/6)^2-25/36
3X^2-5X+2= 3(X^2-5/3X+2/3)
3X^2-5X+2= 3[(X-5/6)^2-25/36+2]
3X^2-5X+2= 3[(X-5/6)^2-25/36+24/36]
3X^2-5X+2= 3[(X-5/6)^2-1/36 ] on obtient une différence de carrés a^2-b^2=(a-b)(a+b)
3X^2-5X+2= 3[(X-5/6)^2-1/36]
3X^2-5X+2= 3[(X-5/6-1/6)(X-5/6+1/6)]
3X^2-5X+2= 3[(X-6/6)(X-4/6)]
3X^2-5X+2= 3(X-1)(X-2/3)


2è exemple: 9x²+6x+1 c'est une identité remarquable. 9x²+6x+1=(3x+1)^2
On peut aussi passer par la forme canonique, si on n'est pas arriver à reconnaître l'identité remarquable.
9x²+6x+1 = 9(x^2+6/9x+1/9)
9x²+6x+1 = 9(x^2+2/3x+1/9)
9x²+6x+1 = 9[(x+1/3)^2-1/9+1/9)]
9x²+6x+1 = 9(x+1/3)^2
9x²+6x+1 = 3^2(x+1/3)^2
9x²+6x+1 = [3(x+1/3)]^2
9x²+6x+1=(3x+1)^2



3è exemple: 9x²+6x+2=9(x^2+6/9x+1/9)
9x²+6x+2=9(x^2+2/3x+2/9)
9x²+6x+2=9[(x+1/3)^2-1/9+2/9)]
9x²+6x+2=9[(x+1/3)^2+1/9)]
pas de factorisation possible car de la forme a^2+b^2
Donc si vous devez résoudre l'équation 9x²+6x+2=0 alors cette équation n'admet aucune solution.

Voilà

Je vous invite à bien relire le cas général.
a^2+2ab=(a+b)^2-b^2
a^2-2ab=(a-b)^2-b^2 etc....


Dernière édition par e-crpe.com le Dim 21 Fév - 23:12, édité 1 fois

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Re: Equation du second degré (hors programme au CRPE)

Message par trousse68 le Dim 21 Fév - 23:02

Merci...je vais refaire et refaire jusqu'à ce que ça rentre!!!!

trousse68

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Re: Equation du second degré (hors programme au CRPE)

Message par trousse68 le Lun 22 Fév - 14:47

Par contre...même si je ne suis pas très douée en mathématique, je pensais quand même que d'autres personnes pouvaient trouver cela difficile.

trousse68

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Re: Equation du second degré (hors programme au CRPE)

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