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Algorithme de Kaprekar

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Algorithme de Kaprekar

Message par gaelleb76 le Ven 30 Avr - 15:13

Est-ce que quelqu'un a une démo pour la dernière question de cet exo.

Je mets ici l'énoncé ( c'est d'ailleurs tiré de l'article de Wikipédia sur le sujet dont j'ai fait un copié-collé) :
L’algorithme de Kaprekar consiste à associer à tout nombre entier n un autre nombre K(n) généré de la façon suivante :

* On considère les chiffres de n, écrits en base 10. On forme le nombre n1 en rangeant ces chiffres dans l’ordre croissant et le nombre n2 en les rangeant dans l’ordre décroissant.
* On pose K(n) = n2 - n1.

On itère ensuite le processus avec K(n).
Exemple

Si on commence avec 634, on obtient successivement 297, 693, 594, 495, 495, etc. On obtient là aussi un nombre qui ne varie plus : 495

1. Montrer que l'algorithme appliqué au nombre 5294 conduit aussi à un nombre entier p tel que K(p)=p.
2. On considère maintenant un nombre m qui s'écrit en base 10 avec les trois chiffres a,b,c tels que : m=abc (avec la barre dessus) et 0<a<b<c.
a. Montrer que le nombre K(m) est un multiple de 99.
b. Montrer alors que l'algorithme appliqué au nombre m conduit au nombre 495 en cinq itérations au plus.

Voilà : comment répondre à la dernière ? 495 = 5 x 99, mais ce n'est pas suffisant pour répondre je trouve.
J'ai écumé internet et je ne trouve rien.

Mr Chermak ... au secours !!!!

gaelleb76

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Re: Algorithme de Kaprekar

Message par julievan le Ven 30 Avr - 17:52

ouh toi tu fais partie tu groupement 1 ^^
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julievan

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Re: Algorithme de Kaprekar

Message par Mely le Ven 30 Avr - 21:48

Elle m'intéresse aussi la réponse car j'étais bien embêtée pour cette petite question à la noix !!

Mely

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Eléments de réponse

Message par e-crpe.com le Sam 1 Mai - 10:30

1) K(5294) = 9542-2459 = 7083
K(7083) = 8730-378 = 8352
K(8352) = 8532-2358 = 6174
K(6174) = 7641-1467 = 6174
d'où K(p) = p pour p = 6174

2) Soit un nombre de trois chiffres a, b, et c (où a > b > c>0 car les chiffres sont distincts)
a) En utilisant la première itération de l’algorithme de Kaprekar, on obtient :
K(m)=100a + 10b + 1c – (100c + 10b + 1a)
K(m)= 99a -99c
K(m)= 99(a – c) : Ce nombre est bien un multiple de 9 car K(m)= 9x11(a-c)
b)Il faut remarquer que la différence a – c est au minimum égale à 2 et au maximum égale à 8 car a est différent de c et tous deux non nuls.
En appliquant les itérations successives selon l’algorithme de Kaprekar, le résultat final convergera vers 495.
a – c = 2
Première itération pour a-c=2
99x2=198
Il faut ranger les chiffres du nombre 198 dans l’ordre décroisant pour avoir 981 et dans l’ordre croissant pour avoir 189
D’où la deuxième itération : 981 ‐ 189 = 792
Puis la troisième itération : 972 – 279 = 693 et ainsi de suite..
99(2) = 198; 981 ‐ 189 = 792; 972 – 279 = 693; 963 – 369 =594; 954 – 459 = 495
99(3) = 297; 972 – 279 – 693; 963 – 369 = 594; 954 – 459 = 495
99(4) = 396; 963 – 369 = 594; 954 – 459 = 495
99(5) = 495; 954 – 459 = 495
99(6) = 594; 954 – 459 = 495
99(7) = 693; 963 – 369 = 594; 954 – 459 = 495
99( 8 ) = 792; 972 – 279 = 693; 963 – 369 = 594; 954 – 459 = 495
Donc l'algorithme appliqué au nombre m conduit au nombre 495 en cinq itérations au plus.
Ceci est obtenu lorsque la différence entre a et c est égale à 2, première ligne
Exemple 543-345=198
Il faut en revanche au minimum deux itérations pour atteindre 495.
Ce cas est réalisé pour a-c=5 ou a-c=6, comme indiqué dans la liste plus haut.


Dernière édition par e-crpe.com le Jeu 6 Mai - 17:25, édité 3 fois

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Re: Algorithme de Kaprekar

Message par gaelleb76 le Sam 1 Mai - 13:30

Merci beaucoup Mr Chermak.

J'avais envisagé cette méthode mais elle me semblait trop coûteuse en temps pour être la bonne, alors j'ai abandonné. Tant pis pour moi, mais de toute façon, je ne vois pas comment on pouvait faire cette méthode au brouillon pour la vérifier puis la retranscrire au propre, et espérer tout faire, car les autres exos étaient longs aussi.

J'en profite encore pour vous remercier pour vos cours, en espérant de plus avoir à y participer pour septembre ;o) On peut rêver ...

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Re: Algorithme de Kaprekar

Message par ammca le Sam 1 Mai - 15:04

affraid affraid affraid geek

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Re: Algorithme de Kaprekar

Message par ga71 le Sam 1 Mai - 16:51

cela me fait le même effet qu'ammca !!!!!!!!!!!

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Re: Algorithme de Kaprekar

Message par jeff le Mer 5 Mai - 22:14

perso , je l'ai réussi et ce qui était pratique est le fait que les réponses étaient données puisqu'elles étaient du type "montrez que..."
En revanche j'ai passé beaucoup trop de temps dessus à griffoner au brouillon afin d'être certain du développement avant de le copier sur ma feuille...du coup je n'ai pas eu le temps de faire le dernier exo qui permettait de gagner des points facilement...donc très frustré au final

jeff

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Re: Algorithme de Kaprekar

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